Nekromanti Statistik: Tärningshjälp, hur tänker man?

Ram

Ram

Skev
Joined
11 May 2004
Messages
5,590
Location
Slätta
Jag försöker sno huvudet runt hur man skall tänka hur medelvärdet ändras om man har X tärningar (säg T6:or för att det skall bli enkelt att exemplifiera) och man efter slaget får rulla om en av dem och skall slå så högt som möjligt. Intuitivt förstår jag att medelvärdet ökar i och med att man alltid kommer att slå om alla fall där en tärning kommer upp med det lägsta resultatet, men sedan blir det psykologi i det hela. Slår man om en 2:a? En 3:a? En 4:a har 50% chans att bli lika bra eller bättre. Antagandet är att värdet är en kvalitet av något slag.

Går det att analysera det matematiskt?
 
Rimligtvis kommer man rulla om ifall slaget inte är framgångsrikt, så det beror på var gränsen för framgång ligger.
 
Enkel regel för att räkna medel på en tärning:
Ta (högsta + lägsta)/2.
Om du har en d6 blir det (6+1)/2=3,5
Grundregel för omslag: slå om allt under medel.
Du ska slå om en 3a men inte en 4a.
 
Ja, bra poäng. Jag vet inte om jag egentligen tänker mig att det finns en svårighetsgrad, resultatet kan vara en kvalitet i sig. Men psykologin kan mycket väl påverka genomsnittet.
 
Om det inte finns en svårighetsgrad finns det ingen anledning att slå om. Psykologin är helt beroende av vad man kan vinna och vad man riskerar: finns det ingen risk kommer man slå om allt annat än en sexa, finns det ingen vinst kommer man slå om sexan också.
 
Det jag menade var att målet inte är nödvändigtvis är ”slå över 8” utan snarare ”slå så högt som möjligt” Om man har en 4a och en 3a, vågar man slå om 3an med risk att få en 1a eller 2a?

Egentligen är det två aspekter. Den psykologiska effekten av att få slå om som man vill och den rent mekaniska/matematiska effekten av att alltid få slå om alla ettor och kanske även tvåor.
 
Jag skulle nog resonera så här om jag fick en trea och en fyra:
Skulle jag vilja slå om trean har t6an 7 möjligheter (i min värld):
Det finns tre klart bättre resultat: 4,5,6 och två klart sämre resultat: 1,2. Skulle jag slå en trea kan man se det som varken bra eller dåligt - eller som både bra och dåligt.
Man kan alltså sortera in resultaten i två kategorier:
Den dåliga skaran med resultat: 1,2,3.
Den bra skaran med resultat: 3,4,5,6.

Vill man ha en procentuell chans hamnar den alltså på cirka 57% för ett bra resultat, och 43% för ett dåligt. Skillnaden mellan ett positivt och ett negativt utfall är 1/7, dvs 14%. Jag är frestad att påstå att man i genomsnitt får ett 14% bättre resultat av att slå om en trea (men någon med ens måttliga matematiska kunskaper kommer nog påpeka att jag har fel!).
 
Om vi lämnar psykologin därhän och gör som anth antar att folk är rationella och försöker slå så högt som möjligt så blir matematiken så här:

Medelvärdet för en vanlig tärning är alltså 3.5, och du vill då slå om ifall du slagit en trea eller lägre eftersom du då har större chans att få ett högre värde. Medelvärdet för två vanliga tärningar är 7, för tre 10.5 och så vidare.

Lika lätt är det inte om vi får slå om lägsta:

Medelvärdet för 1 tärning:
Du slår en tärning, och slår sen om den om du slår 1,2 eller 3, medelvärdet blir (4+5+6)/6 + (1+2+3+4+5+6)/12 = 4.25

Medelvärdet för mer än en tärning:
Eftersom vi inte får omslag på alla 1,2,3or utan bara den lägsta så kommer inte medelvärdet bli 8.5. Det blir inte så vitt jag kan se någon vidare snygg matematik heller så vi går till anydice.com och skriver lite kod istället:
loop N over {2..8}{output [highest N-1 of Nd6] + 4 + 1/4}
(Notera att jag har fuskat här, koden ovan ger inte korrekt fördelning, men ger korrekt medelvärde vilket var det vi var intresserade av.

Så för 2 tärningar har vi medelvärde 8.47
3: 12.46
4: 16.24
5: 19.93
6: 23.56
7: 27.15
8: 30.72 (Jämfört med 34 om vi istället hade fått slå om alla 1-3 en gång)
 
Björn den gode;n264724 said:
Om vi lämnar psykologin därhän och gör som anth antar att folk är rationella och försöker slå så högt som möjligt så blir matematiken så här:

Medelvärdet för en vanlig tärning är alltså 3.5, och du vill då slå om ifall du slagit en trea eller lägre eftersom du då har större chans att få ett högre värde. Medelvärdet för två vanliga tärningar är 7, för tre 10.5 och så vidare.

Lika lätt är det inte om vi får slå om lägsta:

Medelvärdet för 1 tärning:
Du slår en tärning, och slår sen om den om du slår 1,2 eller 3, medelvärdet blir (4+5+6)/6 + (1+2+3+4+5+6)/12 = 4.25

Medelvärdet för mer än en tärning:
Eftersom vi inte får omslag på alla 1,2,3or utan bara den lägsta så kommer inte medelvärdet bli 8.5. Det blir inte så vitt jag kan se någon vidare snygg matematik heller så vi går till anydice.com och skriver lite kod istället:
loop N over {2..8}{output [highest N-1 of Nd6] + 4 + 1/4}
(Notera att jag har fuskat här, koden ovan ger inte korrekt fördelning, men ger korrekt medelvärde vilket var det vi var intresserade av.

Så för 2 tärningar har vi medelvärde 8.47
3: 12.46
4: 16.24
5: 19.93
6: 23.56
7: 27.15
8: 30.72 (Jämfört med 34 om vi istället hade fått slå om alla 1-3 en gång)
Click to expand...

Tack!

Men det känns lite lustigt...
Medelvärdet för 1 tärning:
Du slår en tärning, och slår sen om den om du slår 1,2 eller 3, medelvärdet blir (4+5+6)/6 + (1+2+3+4+5+6)/12 = 4.25

Den första biten ((4+5+6)/6) antar jag skall vara att man inte behåller 1,2 och 3. Men slutsumman/medelvärdet kommer att öka om man behåller lägre värden med den modellen. Så behåll 1-2 -> (3+4+5+6)/6 + (1+2+3+4+5+6)/12 = 3 + 1,75 = 4,75.

I anydice-koden, vad är 4 och 1/4?

Siffrorna känns vettiga dock.Tackar och bockar.
 
Jag tror att det är fel någonstans. Jag simulerade några tusen iterationer (i Excel/@RISK) och fick medelvärde på 8,2 för två tärningar. (tillägg: Med omslag av den lägsta tärningen om någon tärning visar under 4) (tillägg 2: jag kommer inte ihåg om det var exakt 8,2 jag fick, men i runda slängar)
 
Ram;n264766 said:
Den första biten ((4+5+6)/6) antar jag skall vara att man inte behåller 1,2 och 3. Men slutsumman/medelvärdet kommer att öka om man behåller lägre värden med den modellen. Så behåll 1-2 -> (3+4+5+6)/6 + (1+2+3+4+5+6)/12 = 3 + 1,75 = 4,75.
Click to expand...
Antar att du menade "Slå om 1-2". Men din justering av formeln är fel. Behåller man 3-6 och slår om 1-2, blir det (3+4+5+6)/6 + (1+2+3+4+5+6)/18 = 4,17. Alltså lägre.
 
Ram;n264766 said:
Tack!

Men det känns lite lustigt...
Medelvärdet för 1 tärning:
Du slår en tärning, och slår sen om den om du slår 1,2 eller 3, medelvärdet blir (4+5+6)/6 + (1+2+3+4+5+6)/12 = 4.25

Den första biten ((4+5+6)/6) antar jag skall vara att man inte behåller 1,2 och 3. Men slutsumman/medelvärdet kommer att öka om man behåller lägre värden med den modellen. Så behåll 1-2 -> (3+4+5+6)/6 + (1+2+3+4+5+6)/12 = 3 + 1,75 = 4,75.

I anydice-koden, vad är 4 och 1/4?

Siffrorna känns vettiga dock.Tackar och bockar.
Click to expand...

Jo så här alltså, all sannolikhetsteori handlar i grunden om att räkna på olika möjliga utfall, i vissa fall så finns det snygga knep att ta till men det "går" alltid att bara skriva upp alla utfallen och räkna ut snittet om en vill ha medelvärdet.

Så om vi slår en tärning så har vi 1 på 6 att få varje utfall, det vill säga 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 +5*1/6+6*1/6, i vårt fall så behåller vi alltså bara 4,5,6 och har då hittils fått ihop till första delen. Att jag delar med 12 i andra delen är lite slarvigt skrivet för egentligen så multiplicerar vi först med 1/6+1/6+1/6 = 1/2, det vill säga sannolikheten att slå om, och sen multiplicerar vi med 1/6 för varje av utfallen.

Om vi bara slår om på 1 och 2 så måste vi som påpekats ovan istället dela med 18 (först multiplicera med 1/6+1/6=1/3 och sen med 1/6).


När det gäller any-dice koden så tänkte jag så här:

Vad vi vill göra är ju ganska likt att slå x tärningar, behålla x-1 tärningar och slå om den lägsta, hade vi alltid slagit om så hade det varit lätt, då hade vi highest n-1 of nd6 + 1d6. Men nu när vi bara vill slå om ifall den lägsta tärningen är 1 till 3 så blir det krångligare, jag är inte så bekant med syntaxen i any dice så orkade inte lista ut hur jag kunde spara resultatet av de individuella tärningarna utan att det blev krångligt utan tänkte istället så här: Vi vet att medelvärdet av att slå en sån här tärning är 4.25, så om vi istället för att slå en tärning bara lägger på 4.25 så borde det stämma, eftersom vi då har tagit hänsyn till att vi kanske inte slår om.

Vid närmare eftertanke så är det nog fel, för sannolikheten att vi behöver slå om lägsta tärningen är ju förstås större ju fler tärningar vi har. Så anydicen är nog som påpekats ovan fel, får se om jag får tid att sätta mig in mer i anydice och ser om jag kan få till det rätt. Annars är ju som sagt en annan möjlighet att bara simulera det, men det är ju lite tråkigt (även om det för allt praktiska ändamål kommer ge tillräckligt exakta värden)
 
För 2T6 med omrull på max en under 4 kan man tänka såhär, det finns 4 möjliga utfall med samma sannolikhet (innan vi slår om):
Ö+Ö (båda tärningarna över medelvärde, 4 eller över alltså)
Ö+U (ena tärningen under medelvärde)
U+Ö (andra tärningen under medelvärde)
U+U (båda tärningarna under medelvärde)

Det förväntade medelvärdet för en okänd tärning (T) är ju 3,5, men motsvarande för en Ö-tärning är 5 och en U tärning 2. Alltså har vi ovan:
5+5
5+2
2+5
2+2

I varje tärningspar ovan kan vi byta ut ett U mot ett T (slå om en tärning som visar 1-3):
5+5 = 10
5+3,5 = 8,5
3,5+5 = 8,5
3,5+2 = 5,5

Medelvärdet totalt blir då (10+8,5+8,5+5,5)/4 = 8,125

?Man kan förstås tänka på samma sätt vid fler tärningar, men det blir snabbt omständligt. Då är det lättare att lösa det med smartare matematik eller att simulera.
 
soda;n264780 said:
För 2T6 med omrull på max en under 4 kan man tänka såhär, det finns 4 möjliga utfall med samma sannolikhet (innan vi slår om):
Ö+Ö (båda tärningarna över medelvärde, 4 eller över alltså)
Ö+U (ena tärningen under medelvärde)
U+Ö (andra tärningen under medelvärde)
U+U (båda tärningarna under medelvärde)

Det förväntade medelvärdet för en okänd tärning (T) är ju 3,5, men motsvarande för en Ö-tärning är 5 och en U tärning 2. Alltså har vi ovan:
5+5
5+2
2+5
2+2

I varje tärningspar ovan kan vi byta ut ett U mot ett T (slå om en tärning som visar 1-3):
5+5 = 10
5+3,5 = 8,5
3,5+5 = 8,5
3,5+2 = 5,5

Medelvärdet totalt blir då (10+8,5+8,5+5,5)/4 = 8,125
Click to expand...
Nja, du underskattar fallet U+U. Inom det finns nio olika utfall. I fem av utfallen kommer du att slå om en tärning som visar "1", i tre av fallen en som visar "2" och i endast ett fall en som visar "3". Så ökningen av väntevärdet blir (5*2,5 + 3*1,5 + 0,5)/9 = 1,94.

Medelvärdet totalt blir (10+8,5+8,5+5,94)/4 = 8,236
 
Oldtimer;n264783 said:
Nja, du underskattar fallet U+U. Inom det finns nio olika utfall. I fem av utfallen kommer du att slå om en tärning som visar "1", i tre av fallen en som visar "2" och i endast ett fall en som visar "3". Så ökningen av väntevärdet blir (5*2,5 + 3*1,5 + 0,5)/9 = 1,94.

Medelvärdet totalt blir (10+8,5+8,5+5,94)/4 = 8,236
Click to expand...

?Hmm, ja, det har du rätt i. :-) Man ska inte tänka för mycket på jobbet.
 
Nu har min hjärna vaknat till lite efter ett par dagars feber. Tack för förklaringarna, nu är jag med på hur det funkar matematiskt i alla fall.
 
You must log in or register to reply here.
Back
Top