Nekromanti Bortom Horisonten

[Eva Florén]

Fick mig en tankeställare nu. Såg lite på Diskovery och såg ett inslag om en vulkaneuroption. De kommenterade att askan spreds kilometervis omkring och täckte omgivningarna. Jag funderade då genast på hur långt bort man kunde se det... och ännu viktigare:

Hur långt bort ligger horisontlinjen (den jag ser alltså)? Givetvis förutsatt att jag står på slät yta i samma höjd som horisonten och att den är en slät yta (typ hav) Bortse från vattenytors krökning och bortse från ljusbrytning av vatten. Hur långt bort ligger horisonten, dvs hur lång fri sikt har jag? Hur räknar man ut det? Och hur räknar man ut det om planetoiden man befinner sig på har en mindre storlek?

Vad krävs för att planetoiden skall behålla en atmosfär lämplig för människor...

Ja ni ser själva vart jag är på väg...


Hjälp är ni söta

 

[Krille]

"Hur långt bort ligger horisontlinjen (den jag ser alltså)?"

Givet följande: du har längden l i meter, och du står på en sfär med radien r.

Rita följande skiss:

En cirkel med radien r får representera sfären du står på. Den har centrumpunkten A. Markera en punkt B rakt upp från A. B är där du står. Dra en liten linje till till C. Sträckan B till C är din längd l, och sträckan A till B är radien r.

Dra en linje från C till cirkelns kant, sådan att den enbart tangerar cirkeln. Den får inte korsa cirkeln, utan bara snudda den. Kalla den punkt där tangenten träffar cirkeln för D. Sträckan C till D är så långt du kan se och d är horisonten.

Dra en sista linje, i rät vinkel mot C till d, från D till A.

Observera nu: C till D är avståndet till horisonten och är okänd. Vi kallar denna för s.

D till A är känd. Det är sfärens radie r.

A till C är känd. Det är sfärens radie r plus din längd l.

Vinkeln vid D är rätvinklig, dvs A-D och D-C är katetrar, vilket gör C-A till hypotenusan.

Entre Pytagoras:

(r+l)^2 = r^2 + s^2
s^2 = (r+l)^2 - r^2
s = sqrt( (r+l)^2 - r^2 )

"Vad krävs för att planetoiden skall behålla en atmosfär lämplig för människor..."

Det beror på vilka tidsperspektiv vi talar om, men ca 1 G vid planetoidens yta i miljardårsperspektiv.

 

[Eva Florén]

Ok... men det säger mig inte på ett ungefär hur långt bort horisonten befinner sig för mig just nu. *är värdelös på matematik* Jag lovar att räkna på det.

Jag bortser från tidsperspektiv, jag förutser att det är tillräckligt. Hm... 1G var ju naturligtvis det jag borde förutsett. Med tanke på en rad faktorer. Då kvarstår att en planetoid av olika radie kan ändå ha liknande gravitation. Eller är jag ute och cyklar, påverkas inte gravitationen av massan/tätheten på planetoiden?

Då skulle jag slutligen kunna tillverka (ok förutsäga, beskriva) en planet som är mindre än jorden, ha samma atmosfär men en kortare sträcka till det vi kallar horisonten?!

Eller är jag bara jättevimsig?

 

[anth]

Hur långt bort ligger horisontlinjen (den jag ser alltså)?

Jag googlade "distance to horizon" och fick
http://www.boatsafe.com/tools/horizon.htm
Om man är 2 meter över havet så är avståndet till horisonten 3 nautiska mil.
1 nautisk mil = 1851,851...meter
Drygt 5km mao.
Jag skulle tro att avståndet till horisonten på månen bara är ett par 100 meter.

Vad krävs för att planetoiden skall behålla en atmosfär lämplig för människor

Jordens atmosfär är dynamisk, men förvånansvärt stabil, jag tror att ordet är självreglerande.
Om människan skulle försvinna från jordens yta idag så skulle växthuseffekten upphöra inom ett århundrade.
Konstigt nog så har man inte lyckats med samma självreglering i t.ex. rymdskepp.

Var det mars låga gravitation som pajade dess atmosfär?
Jag skulle tro att det viktigaste är ett fungerande eko-system.
Vi har c:a 20% syre i atmosfären det intressanta är att om syrehalten bara avviker ett par % så skulle det omöjliggöra mänskligt liv.

 

[Oldtimer]

Entre Pytagoras:

(r+l)^2 = r^2 + s^2
s^2 = (r+l)^2 - r^2
s = sqrt( (r+l)^2 - r^2 )

Du kan faktiskt förenkla den formeln lite:

s = sqrt( (r^2 + 2rl + l^2) - r^2 )
s = sqrt( 2rl + l^2 )

Om vi nu insätter 2 (meter) för längden av personen, får vi:
s = sqrt( 4r + 4 )
s = 2*sqrt( r + 1 )

För sfärer av planeters storlek, kommer 1 att vara försvinnande litet jämfört med r.
Därför förenklar vi till:
s = 2*sqrt( r )

Så, ta kvadratroten ur planetens radie och dubbla det värdet. Allt räknas förstås i meter.

För jorden:
radie = 6371 km
kvadratroten ur 6371000 = 2524
dubbla det = 5048

Alltså cirka 5km till horisonten på jorden.

För månen:
radie = 1737 km
kvadratroten ur 1737000 = 1318
dubbla det = 2636

Alltså cirka 2½ km till horisonten på månen.

Som kuriosa kan man konstatera att om man räknar med en person som är 1,70m istället, ligger horisonten bara 4654 meter bort. Alltså kan jag se nästan en halv kilometer längre än min fru.

/Mikael

 

[Troberg]

s = 2*sqrt( r + 1 )
För sfärer av planeters storlek, kommer 1 att vara försvinnande litet jämfört med r.
Därför förenklar vi till:
s = 2*sqrt( r )

(snip)

Alltså cirka 5km till horisonten på jorden.

(snip)

Som kuriosa kan man konstatera att om man räknar med en person som är 1,70m istället, ligger horisonten bara 4654 meter bort. Alltså kan jag se nästan en halv kilometer längre än min fru.

Kan man då verkligen anse att 1 är försvinnande litet? Du glömmer att du har en attans spetsig triangel, små skillnader gör rätt så stor inverkan på resultatet.

Det kan ju dessutom vara så att man sitter högst uppe i en mast eller ett torn. Då blir den ännu mindre försumbar.

 

[Suvarin]

Re: Bortom Horisonten (OT)

Jordens atmosfär är dynamisk, men förvånansvärt stabil, jag tror att ordet är självreglerande.
Om människan skulle försvinna från jordens yta idag så skulle växthuseffekten upphöra inom ett århundrade.
Konstigt nog så har man inte lyckats med samma självreglering i t.ex. rymdskepp.

Idén att jordatmosfären skulle vara självreglerande kallas Gaia-hypotesen och består i själva verket av flera mekanismer, bland andra dessa:

- Om koldioxidnivån ökar i atmosfären ökar också fotosyntesen vilket har som följd att koldioxidnivån minskar.

- Om syrenivån ökar uppstår fler skogsbränder, vilka förbrukar syre och får nivåerna att minska.

Hypotesen skapades av den engelske kemisten James Lovelock som på uppdrag från NASA försökte avgöra om det fanns liv på Mars. Mottagandet var till en början skeptiskt och det hjälpte knappast att diverse kufar kopplade Gaia-teorin till idéer om jorden som en medveten varelse.

Hursomhelst är det inte särskilt konstigt att sådana självreglerande mekanismer inte fungerar på rymdskepp än så länge. Det finns inga bränder (förutom på MIR då) och väldigt lite fotosyntes. Dessutom krävs det ett väldigt stort system för att dessa effekter ska verka på ett förutsägbart sätt.

Det här blev ju nästa hopplöst OT. Jag försöker rädda det hela med lite prat om realistisk rymdfart (i rollspel):

Rymdskepp som tar tusentals år på sig för att komma fram skulle i princip behöva vara små solsystem med energikälla, fotosyntetiserade organismer och vattenreglering. Det behöver faktiskt inte bli vansinnigt stort om man tänker på att man kan bygga ett system som är mycket bättre på att fånga energi än vår atmosfär. Arthur C. Clarke var nog inne på rätt spår med Rama (även om det var mer robotar än ekosystem där). Problemet är väl energikällan. Fusion är vår vän.

 

[Foggmock]

Re: Bortom Horisonten (OT)

Ett slutet ekosystem som klarar sig utmärkt utan bränder: http://www.hammacher.com/publish/17494.asp

 

[Oldtimer]

Kan man då verkligen anse att 1 är försvinnande litet?

I förhållande till en planetradie, ja. Absolut.

Du glömmer att du har en attans spetsig triangel, små skillnader gör rätt så stor inverkan på resultatet.

Det har inte ett smack med saken att göra. Här handlar det om att avrunda från 6000001 till 6000000. Inget stort avrundningsfel. Prova att räkna ut det för jorden med och utan den där 1:an.

Det kan ju dessutom vara så att man sitter högst uppe i en mast eller ett torn. Då blir den ännu mindre försumbar.

Den är fortfarande försumbar.

Säg att man sitter 10 meter upp i en mast. Då har vi:
s = sqrt( 2rl + l^2 )
s = sqrt( 20r + 100 )
s = sqrt(20) * sqrt( r + 5 )

Fortfarande är 5 försumbar järfört med planetradien som i jordens fall är över 6000000. Att avrunda 6000005 till 6000000 är ingen stor felkälla.

Sedan påpekade jag att avståndet till horisonten beror kraftigt på hur högt över markytan man befinner sig, men det har ingenting med den approximationen att göra.

/Mikael

 

[Staffan]

Eller är jag ute och cyklar, påverkas inte gravitationen av massan/tätheten på planetoiden?

Gravitationskraften mellan två kroppar beräknas med:
F = G*m*M/r^2
där
G = Gravitationskonstanten, som jag inte orkar slå upp just nu. Det är ändå irrelevant, som vi kan se senare.
m och M = massan på de två kropparna (M får här vara planeten i fråga)
r = avståndet mellan de två kropparnas tyngdpunkter.

Det vi normalt kallar g, alltså gravitationsaccellerationen (~9,8 m/s^2 på jorden) blir alltså den ovanstående formeln, fast bara med ett M: g = G*M/r^2.

Men! Massan på planeten är ju i sin tur beroende av lite annat, nämligen densitet (d) * volym. Volymen på en sfär i sin tur är pi*4/3*r^3. Alltså får vi:
g = G*d*pi*4/3*r^3/r^2 = G*d*pi*4/3*r

Om vi förkortar ihop alla konstanterna till ett enda k så får vi:
g = k*d*r

Alltså, gravitationen på en planet är proportionell mot planetens densitet och radie.

 

[Troberg]

Sedan påpekade jag att avståndet till horisonten beror kraftigt på hur högt över markytan man befinner sig, men det har ingenting med den approximationen att göra.

Sorry, jag glömde att du redan plockat ut delar av höjden i den första delen av uttrycket där de har mer inverkan.

 

[Eva Florén]

Ah, bra, då kan jag utgå från det. Och dessutom en smaskig utträkning på det hela. Man tackar.

Ibland önskar jag att jag verkligen lärt mig den där delen, men i hjärtat är jag tyvärr mer arbetare än akademiker.