5. Kraftjämvikt och lite trigonometri
Först ett tillägg på den grafiska regeln för vektoraddition: den är rätt enkel att förstå medhjälp av parentesnotationen om man tänker såhär:
(2,3) är vektorn två steg åt höger och 3 uppåt. (1,-2) är vektorn ett steg åt höger och -2 uppåt, dvs 2 nedåt. Lägger man ihop dessa får man (2+1,3-2)=(3,1) dvs 3 åt höger, 1 uppåt.
En av formuleringarna på den grafiska regeln var att rita pilen för den ena vektorn, och sedan rita pilen för den andra med start från den förstas spets. Ritar man en pil som går två steg åt höger och tre uppåt, och sedan från den punkt man hamnar i ett steg åt höger och två nedåt, så har man totalt gått (2+1) åt höger och (3-2) uppåt, dvs totalt 3 åt höger och 1 uppåt. Den punkt vi har hamnat i är alltså slutpunkten för vektorpilen som svarar mot resultanten, (3,1).
Med det ur vägen går vi vidare.
Vad vi kan räkna ut
Så, vi vet följande:
- Hur man lägger ihop två krafter i parentesnotationen
- Hur man räknar ut storleken av vilken kraft som helst i parentesnotationen
- Hur man delar upp en kraft i komposanter som ligger längs axlarna
och det räcker ganska långt. Nå, här är lite olika typer av uppgifter man kan ställas inför:
- Du får ett par olika krafter som verkar på en punkt (typ rep som drar åt olika håll) och ska lista ut åt vilket håll punkten dras. Vi löser genom att lägga ihop alla.
- Du får ett par krafter som verkar åt olika håll och ska bestämma hur mycket kraft som verkar i en viss riktning. I det enkla fallet där denna riktning är en av axlarna kan vi lösa det: då tar vi den komposanten av resultantkraften. Exempelvis kanske vi har en hylla med lite olika tyngder på och rep som spänner upp den, och vi vill veta hur stor kraft som verkar nedåt på den. Vi lägger ihop alla krafter och finner att resultanten pekat snett nedåt, men att något av repen som spände upp den drar den inåt väggen också. Det intressanta var att veta hur mycket kraft som påverkar nedåt, så vi tar y-koordinaten (den andra siffran i parentesen) av kraftsumman.
Detta är nog ungefär vad vi kan räkna ut med hjälp av det jag sagt hittills, sen har du säkert vid det här laget lärt dig mer på annat håll.
Kraftjämvikt
En sak man väldigt ofta pratar om när man löser mekanikuppgifter (jag pratar för övrigt oftast utifrån räkneuppgifter i skolan, men jag antar att verkliga applikationer delar några drag i alla fall) är kraftjämvikt. Det innnebär att summan av alla krafter som verkar på något är 0, eller närmare bestämt (0,0) dvs allt tar ut varandra och prylen står stilla. Ett exempel är en hylla som har en tyngd som trycker den nedåt men ett stöd som trycker den uppåt.
Många olika uppgifter utgår från att en pryl är i jämvikt, ger dig storlek eller riktning på ett par krafter och ber dig "fylla i de tomma rutorna". Exempelvis kanske du får reda på vart alla krafter pekar och hur stora alla är utom en.
Busenkelt exempel: Link trycker på lådan åt höger med kraften 4 N och Zelda trycker på den från andra hållet. Hur stor är kraften från Zelda? Svaret är såklart 4 N. Det inser man rätt intuitivt, men ska man räkna ut det får man att Link har kraften (4,0) och Zelda har (-z,0) där z är okänt. Summan blir (4-z, 0) vilket ska vara lika med (0,0) så 4-z = 0 och därmed z = 4. Att jag satte in ett minustecken direkt i första parentesen z dök upp i var för att det var uppenbart att Zelda tryckte åt vänster; i mer komplexa exempel är det bättre att bara sätta den okända termen till att alltid vara åt höger med storleken x. Om x sedan visar sig bli -4, ja då var kraften i själva verket åt vänster.
Enkelt exempel i två dimensioner: en stolpe till en flagga, sedd uppifrån, har rep ner till marken som spänner upp den från tre håll. Kraften i repen avgörs av var de sitter fast och hur hårt spända de är, och krafterna i det här fallet är (-4,-4) och (2,1). Vad är kraften från det tredje repet?
Här är det samma sak, fast i en ledd i taget. Anta att det tredje snöret har kraften (x,y) och få det till att (-4+2+x,-4+1+y) = (0,0) vilket ger att -2+x=0 => x=2 och -3+y=0 => y=3, så (x,y)=(2,3).
Krångligt exempel: samma stolpe, men om repen vet vi nu följande:
- Rep a drar med kraften (-3,-2)
- Rep b drar med kraften (x,1), dvs vi vet inte hur mycket år höger det drar
- Rep c drar snett uppåt höger, med vinkeln 60° från x-axeln
Nu har vi genast massa okända. Man kan sätta det som att vi har en kraft på (-3,-2) och en på (x,1) och en på (-y,z), men då har vi tre okända och bara två ekvationer. Om du inte har koll på det sen innan är det viktigt att veta att man aldrig kan lösa ut alla okända om man inte har lika många ekvationer, och här har vi bara två ekvationer:
-3+x-y = 0
och
-2+1+z = 0
Vi ser att z = 1, men det hjälper oss inte med x och y. Vi vet vad de är i förhållande till varandra, dvs att x = y+3, men inte mer. Vi behöver utnyttja vinkeln, att vi vet att den är 60°, för att få en ekvation till.
Trigonometri
Vid det här laget måste du ha lärt dig vad sinus, cosinus och tangens är för något. Annars säger jag det nu: de är funktioner av vinklar som bestäms av (eller åtminstone kan tolkas som) förhållanden mellan sidorna i den rätvinkliga triangel som har den givna vinkeln i ett av hörnen.
Krångligt? Vi tar det prd för ord.
"Funktion" innebär att man stoppar in en sak och får ut en sak. Matematiska funktioner stoppar in och ut tal eller vinklar eller likannde. Varende regel du kan skriva ner på papper är en funktion, inklusive "ge tillbaka samma tal som du fick in" och "ge alltid tillbaka 5, oavsett vad du får in".
"Funktion av x" innebär att det är x du stoppar in.
Rätvinklig triangel måste du veta vad det är. Det viktiga att ha koll på är att om man säger "rätvinklig triangel med vinkeln 60°" så finns det bara en, för om ena vinkeln är 60° måste den andra vara 30° (och den tredje vara 90° såklart eftersom den är rät".
Så till exempel cosinus, som enligt din lilla minnesramsa är adjacent / hypotenuse. För att se vad det är gör du en triangel som har just 90, 60 och 30° i hörnen och kikar på längden på sidorna. En fin sak med trianglar är att vinklar inte förändras om man förstorar eller förminskar hela triangeln, och en viktig sak med funktioner är att om du stoppar in 60° och får ut 1/2 så kommer du få ut 1/2 nästa gång du stoppar in 60° också. Storleken på sidorna spelar alltså ingen roll, de kan få vara i tusentals parsec om de vill, det viktiga är deras relativa storlek. Alltså kikar man alltid på trianglar som har sidor i storleksordningen 1 eller 2.
Just 90-60-30-triangeln har sidor av längderna 1, 2 och roten ur 3. Detta är något du bör lära dig. Jag kan göra en till post sen med lite vanliga trianglar och hur man kommer fram till hur de ser ut, men så är det i alla fall. Hypotenusan är den som är 2 lång, vilket man ser genom pytagoras sats: 1 i kvadrat plus roten ur 3 i kvadrat är 1+3 = 4 vilket är 2 i kvadrat. Vidare är 60°-vinkeln den som ligger bredvid 1-sidan. Cosinus(60°) är alltså 1/2 (adjacent / hypotenuse). Sinus 60° är sqrt(3)/2 och tangens(60°) är sqrt(3)/1=sqrt(3).
Vinklarna 0°, 30°, 45°, 60°, 90° och 180° borde du lära dig sinus-, cosinus- och tangensvärden för utantill. Inte för att du egentligen behöver dem; ska du räkna på detta kommer du stöta på andra vinklar som du behöver miniräknare till, så du kan använda miniräknaren till dessa också. Det är mer så att med förståelse för sinus, cosinus och tangens självt så förstår man direkt hur man får fram dessa värden på bara några sekunder, och det finns också bra minnesregler.
