Nekromanti Sannolikheter för Obt6

[Qea]

Hej

Det här blir mitt första inlägg på forumet, men har följt diskussionerna här ett tag nu.

Gillade verkligen nya Eon IV boken, men reagerade på tabellen för chanserna i slutet av boken där de tagits fram genom 1.000.000.000 (!) simuleringar.

Eftersom de är så många är ju skattningen av chanserna väldigt bra. Är man som jag så vill man dock ha de exakta sannolikheterna. Därför började jag fundera på om det fanns något sätt att räkna ut chanserna exakt, och efter en del funderande fick jag fram en formel för sannolikheterna som i alla fall går att använda med en dator (blir mycket räknande för hand annars).

Bifogar tre pdf-dokument för de som vill kolla hur det fungerar. Dokumentet "Sannolikheter för Obt6" förklarar hur man kommer fram till den slutgiltiga formeln. De andra två dokumenten hade jag först som excel-dokument. "Chanser (Obt6)" innehåller en tabell som den i slutet av Eon IV grundboken för procentchanser att slå minst ett visst tal, men uträknade med formeln. "compositions" innehåller tal som förklaras vad de är till för i det första dokumentet. Tyvärr verkar excel-filer inte gå att bifoga. Så därför blir chanserna i "Chanser (Obt6)" mer avrundade än jag först tänkte (till två decimaler, som i slutet av grundboken). Om man jämför de två tabellerna ser man hur bra skattningarna med 1.000.000.000 slumptal är. Det är egentligen bara för det högsta antalet starttärningar som det är någon, och då fortfarande liten skillnad. Jag antar dock att de här uträkningarna går lite snabbare (och är ju exakta förutom avrundningsfel).

Enjoy!

 

[Kaigon]

Snyggt! Kul att läsa!

Måste säga att det var pedagogiskt upplagt - sitter på lite rostiga kunskaper i kombinatorik men detta var inga problem att förstå.

Det är för övrigt jag som kört igenom simuleringarna och jag vill minnas att det tog minst en timme för de högsta tärningspotterna. Tur att de resultaten blev så pass nära de korrekta värdena för när jag såg posten blev jag först lite nervös att någon hade hittat allvarliga felaktigheter i sannolikhetstabellerna.

 

[Qea]

Trevligt att det uppskattas!

Oj, hehe, ja jag antog att simuleringarna tog ett tag, men det lät riktigt segt. Anledningen till att jag funderade ut formeln var ju mest att jag ville veta hur säker man kunde vara på siffrorna i tabellen (typ hur många korrekta decimaler det var), och det kunde man ju verkligen! (men bra att få det bekräftat kanske)

 

[dancodan]

Snyggt. Om jag har förstått det rätt så i dokument "Chanser" så är varje rad under översta antal tärning +1, till ett max av 10ObT6?
Dvs, rad tre = 3ObT6 ?

Kan man enkelt sammanfatta det med att medeltalet per tärning ligger på ca: 3.7?

 

[Staffan]

Kan man enkelt sammanfatta det med att medeltalet per tärning ligger på ca: 3.7?

Väntevärdet på Ob1T6 är 3,75.

M = (1+2+3+4+5+2M)/6
6M = 15+2M
4M = 15
M = 15/4 = 3,75

 

[Björn den gode]

Väntevärdet på Ob1T6 är 3,75.

M = (1+2+3+4+5+2M)/6
6M = 15+2M
4M = 15
M = 15/4 = 3,75

Varje gång jag ser den här beräkningen så blir jag varm inombords. Det är så mycket ful matematik i kombinatorik och sen finns det sånt här vackert också.

 

[Qea]

Jo det stämmer att raderna motsvarar antalet tärningar, jag missade att lägga in en kolumn om detta i dokumentet. Som Staffan skriver så stämmer det att väntevärdet är 3.75 per tärning.

Sedan måste jag dock inflika att även om formeln är kompakt och snygg så är detta sätt att räkna ut det hela dock lite problematiskt rent matematiskt eftersom vi antar att väntevärdet inte är oändligt i formeln: Säg t.ex. att vi fick sex nya tärningar på en sexa istället (istället för två), då fungerar inte formeln och vi skulle då i steg tre få 0=15; men nu stämmer det ju att väntevärdet är ändligt stort, och formeln funkar alltså så länge väntevärdet är ändligt.

Dessutom är variansen per tärning för övrigt 215/32 = 6.71875 - om man vill normalapproximera när man slår flera tärningar. Jag hade tänkt skriva något om dessa saker också i mitt inlägg men det blev rätt långt (och komplicerat) och sen glömde jag bort det hela. Matematiskt strikt kan man få fram värdena för väntevärdet och variansen genom teorin bakom "Galton-Watson branching processes":

https://en.wikipedia.org/wiki/Branching_process

Vilket man använder för att få fram väntevärdet och variansen för antalet tärningar man får (vilket även bevisar att väntevärdet i antalet tärningar och alltså även summan av tärningarna inte är oändligt). Vartefter man kan använda "law of total expectation" respektive "law of total variance":

https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation
https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_variance

För att få fram väntevärdet och variansen för summan per tärning som alltså blir 3.75 respektive 6.71875 (om intresse finns kan jag försöka ta mig i kragen och skriva ihop ett dokument där jag går igenom beräkningarna).

 

[Rickard]

http://anydice.com/program/c5f/

 

[anth]

Jo det stämmer att raderna motsvarar antalet tärningar, jag missade att lägga in en kolumn om detta i dokumentet. Som Staffan skriver så stämmer det att väntevärdet är 3.75 per tärning.

Sedan måste jag dock inflika att även om formeln är kompakt och snygg så är detta sätt att räkna ut det hela dock lite problematiskt rent matematiskt eftersom vi antar att väntevärdet inte är oändligt i formeln: Säg t.ex. att vi fick sex nya tärningar på en sexa istället (istället för två), då fungerar inte formeln och vi skulle då i steg tre få 0=15; men nu stämmer det ju att väntevärdet är ändligt stort, och formeln funkar alltså så länge väntevärdet är ändligt.

Jo, men så skulle det i praktiken bli ospelbart med att man får sex nya tärningar för varje sexa.
Om man istället bara får fem tärningar blir det 1M = 15 som är ändligt.
Men i 83 % av fallen (när man bara slår 1, 2, 3, 4, 5) kommer väntevärdet bara bli 3.
Men nu är väntevärdet 15 totalt, vilket betyder att när man väl slår en 6:a blir väntevärdet 75.
Så med 5 tärningar får man i snitt 3 i 83 % av gångerna och 75 i 17 % av gångerna - och med 6 tärningar blir det som sagt ännu värre.

 

[Qea]

Anth: Absolut, jag tänkte aldrig att man skulle använda en så dum tärningsregel som mitt förslag var, men min poäng var att formeln bara fungerar eftersom det faktiskt är ett ändligt tal - någonting som vi ju inte har några bevis för innan vi ställer upp formeln. Det blir samma problem om man istället låter alla slag på 4, 5, och 6 bli två nya tärningar istället för att räknas med, då får vi:

M=(1+2+3+2M+2M+2M)/6
6M=6+6M
0=6

Eller för den delen när allt utom 1 och 2 leder till två nya tärningar:

M=(1+2+2M+2M+2M+2M)/6
6M=3+8M
-2M=3
M=-3/2=-1.5

Eller någon annan form där väntevärdet är oändligt. Teorin bakom "branching processes", eller "förgreningsprocesser" på svenska (se wiki-länken i mitt inlägg ovan), hjälper oss dock med detta eftersom det först kan bevisa att väntevärdet inte är oändligt. När det sedan är gjort kan man absolut använda formeln ovan.

Enkelt uttryckt säger ett teorem inom området att om vi (1) har en process där varje individ kan "föda" nya "barn", (2) sannolikhetsfördelningen för antalet barn är detsamma mellan individer, och (3) antalet födslar mellan individer är oberoende - vilket gäller för Obt6: då är det totala antalet individer ändligt stort om väntevärdet för antalet barn för en individ är strikt under 1 (alltså dennes direkta barn, inte barnbarn osv.).

För Obt6 har vi alltså att varje tärning antingen skapar 0 nya tärningar (5/6 chans), eller 2 nya tärningar (1/6 chans), så det förväntade antalet "barn" blir 2*1/6 = 1/3 < 1. Teoremet säger alltså då att väntevärdet för det totala antalet tärningar är ändligt. Eftersom varje tärning bidrar med ett ändligt värde till summan (max 5) så blir därmed även summan ändlig. Så när vi vet att detta gäller är formeln ovan fullkomligt korrekt. I samtliga andra fall som jag visade är formeln dock inte korrekt, då väntevärdet för antalet barn är 1 eller över (så väntevärdet för det totala antalet tärningar är oändligt), alltså:

Exemplet i fallet ovan: 6*1/6 = 1
Första exemplet här: 2*1/6+2*1/6+2*1/6=6/6 = 1
Andra exemplet här: 2*1/6+2*1/6+2*1/6+2*1/6 = 8/6 > 1

Formeln i sig säger alltså inte om ändlighet gäller eller inte, vilket föranledde min kommentar.

 

[Rhodryn]

Väntevärdet på Ob1T6 är 3,75.

M = (1+2+3+4+5+2M)/6
6M = 15+2M
4M = 15
M = 15/4 = 3,75

Där är något som jag inte förstår här...

Totalt onödigt vetande om mig i spoilertagen...

Spoiler

... vilket antagligen beror på att även om jag var bra på matte i skolan. Fick ju en 5'a i 9an, och ett VG i slutet av Gymnasiet... trots att jag när jag väl nått 9an, och hela vägen igenom gymnasiet, så hade jag i närheten utav nästan helt slutat göra läxor och plugga inför prov (och det var ju inte bara med matte jag gjorde så, det var alla ämnen, men jag lyckades prestera bra ändå). Min fysik lärare under mina komvux år var oerhört frustrerad med mig pga det, för han såg under lektionerna att jag totalt förstod vad det var han lärde ut, mer så än någon annan i klassen, och att enda anledningen till att jag gjorde dåligt ifrån mig på proven var pga att jag inte pluggade utanför lektionerna (jag vet att han tyckte så, för han tog mig åt sidan en dag och sa det till mig)... av någon anledning så har jag alltid haft problem med den biten, att faktiskt lägga tid på skolgrejerna utanför skoltiden, jag fungerade alltid bäst i klassrummet.

Jag verkar ha ett uruselt minne för de flesta matte formler och matte reglerna och allt sådant som jag fick lära mig i skolan också, som bäst så är där vaga minnen av dem, och allt som oftast så fick/får jag liksom krångla mig fram till rätt svar på mitt eget sätt... eller i dagsläget ta hjälp av internet eller något för att hitta rätt formel om jag inte lyckas krångla mig fram till vad jag tror är ett rätt svar.

Och det är inte bara pga att jag inte pluggade i skolan, jag har alltid haft problem med sådana grejer, jag har svårt att minnas datum och sådant också (från t.ex historien). I dagsläget vid 38 års ålder så kan jag bara 5 personers födelsedatum utantill (där ett av dem är mitt eget), och jag har som bäst ett humm om runt ca vilken månad som kanske en handful eller så andra personer fyller år... mitt eget person nr är det enda person nr som jag kan... jag kan inga telefonnr utan till i dagsläget... eller ja... förutom 112, och 911 (om man skulle råka vara i usa) då så klart, och det landlinje nummer som vi hadde i en 10-12 år eller så från 1990 och framåt... som sagt... mitt minne för sådana här grejer verkar totalt uruselt... XD

I alla fall... till det jag inte förstår med formeln som ni använder.

Var kommer 6'an ifrån i "6M = 15+2M"... jag gissar på att det har med "/6" i första raden att göra... men för mig verkar det inte logiskt alls att göra så. För mig så tycker jag att "6M" i detta fallet borde vara lika med "(90+12M)/36", det är vad som känns logiskt för mig... för att om M (eller 1M) representerar medelvärdet utav 1 T6'a... så borde 6M representera medelvärdet utav 6 T6'or.

Jag förstår tanken bakom att slaget utav en 6'a i Ob T6 systemet skulle vara 2M, känns helt logiskt för mig... och jag förstår tanken bakom varför "6M = 15+2M" blir "4M = 15" och varför det blir "15/4 = 3,75"... dessa bitarna känns totalt logiska för mig.

Det enda som jag inte förstår här, och vad som inte känns logiskt alls för mig, är bara den där förflyttningen utav "/6" delen till "6M", eller tilläget utav 6'an till M (om det inte kom ifrån "/6" från första raden), och varför 6M inte skulle faktiskt representera medelvärdet utav 6T6 (Ob eller inte) och "(90+12M)/36".

Så... varför skulle 6M vara "15+2M" och inte "(90+12M)/36"?

 

[kloptok]

Där är något som jag inte förstår här...

Totalt onödigt vetande om mig i spoilertagen...

Spoiler

... vilket antagligen beror på att även om jag var bra på matte i skolan. Fick ju en 5'a i 9an, och ett VG i slutet av Gymnasiet... trots att jag när jag väl nått 9an, och hela vägen igenom gymnasiet, så hade jag i närheten utav nästan helt slutat göra läxor och plugga inför prov (och det var ju inte bara med matte jag gjorde så, det var alla ämnen, men jag lyckades prestera bra ändå). Min fysik lärare under mina komvux år var oerhört frustrerad med mig pga det, för han såg under lektionerna att jag totalt förstod vad det var han lärde ut, mer så än någon annan i klassen, och att enda anledningen till att jag gjorde dåligt ifrån mig på proven var pga att jag inte pluggade utanför lektionerna (jag vet att han tyckte så, för han tog mig åt sidan en dag och sa det till mig)... av någon anledning så har jag alltid haft problem med den biten, att faktiskt lägga tid på skolgrejerna utanför skoltiden, jag fungerade alltid bäst i klassrummet.

Jag verkar ha ett uruselt minne för de flesta matte formler och matte reglerna och allt sådant som jag fick lära mig i skolan också, som bäst så är där vaga minnen av dem, och allt som oftast så fick/får jag liksom krångla mig fram till rätt svar på mitt eget sätt... eller i dagsläget ta hjälp av internet eller något för att hitta rätt formel om jag inte lyckas krångla mig fram till vad jag tror är ett rätt svar.

Och det är inte bara pga att jag inte pluggade i skolan, jag har alltid haft problem med sådana grejer, jag har svårt att minnas datum och sådant också (från t.ex historien). I dagsläget vid 38 års ålder så kan jag bara 5 personers födelsedatum utantill (där ett av dem är mitt eget), och jag har som bäst ett humm om runt ca vilken månad som kanske en handful eller så andra personer fyller år... mitt eget person nr är det enda person nr som jag kan... jag kan inga telefonnr utan till i dagsläget... eller ja... förutom 112, och 911 (om man skulle råka vara i usa) då så klart, och det landlinje nummer som vi hadde i en 10-12 år eller så från 1990 och framåt... som sagt... mitt minne för sådana här grejer verkar totalt uruselt... XD

I alla fall... till det jag inte förstår med formeln som ni använder.

Var kommer 6'an ifrån i "6M = 15+2M"... jag gissar på att det har med "/6" i första raden att göra... men för mig verkar det inte logiskt alls att göra så. För mig så tycker jag att "6M" i detta fallet borde vara lika med "(90+12M)/36", det är vad som känns logiskt för mig... för att om M (eller 1M) representerar medelvärdet utav 1 T6'a... så borde 6M representera medelvärdet utav 6 T6'or.

Jag förstår tanken bakom att slaget utav en 6'a i Ob T6 systemet skulle vara 2M, känns helt logiskt för mig... och jag förstår tanken bakom varför "6M = 15+2M" blir "4M = 15" och varför det blir "15/4 = 3,75"... dessa bitarna känns totalt logiska för mig.

Det enda som jag inte förstår här, och vad som inte känns logiskt alls för mig, är bara den där förflyttningen utav "/6" delen till "6M", eller tilläget utav 6'an till M (om det inte kom ifrån "/6" från första raden), och varför 6M inte skulle faktiskt representera medelvärdet utav 6T6 (Ob eller inte) och "(90+12M)/36".

Så... varför skulle 6M vara "15+2M" och inte "(90+12M)/36"?

M=(1+2+3+4+5+2M)/6=(15+2M)/6, så 6M är lika med 6((1+2+3+4+5+2M)/6)=(90+2M)/6=(15+2M)/6. Om du multiplicerar både täljare och nämnare i ett bråkuttryck med samma siffra, som du måste göra för att få uttrycket (90+12M)/36, har du effektivt multiplicerat uttrycket med 1, dvs inte gjort något alls. Kort sagt: M=(15+2M)/6=(90+12M)/36.

 

[anth]

I alla fall... till det jag inte förstår med formeln som ni använder.

Var kommer 6'an ifrån i "6M = 15+2M"... jag gissar på att det har med "/6" i första raden att göra... men för mig verkar det inte logiskt alls att göra så. För mig så tycker jag att "6M" i detta fallet borde vara lika med "(90+12M)/36", det är vad som känns logiskt för mig... för att om M (eller 1M) representerar medelvärdet utav 1 T6'a... så borde 6M representera medelvärdet utav 6 T6'or.

Jag förstår tanken bakom att slaget utav en 6'a i Ob T6 systemet skulle vara 2M, känns helt logiskt för mig... och jag förstår tanken bakom varför "6M = 15+2M" blir "4M = 15" och varför det blir "15/4 = 3,75"... dessa bitarna känns totalt logiska för mig.

Det enda som jag inte förstår här, och vad som inte känns logiskt alls för mig, är bara den där förflyttningen utav "/6" delen till "6M", eller tilläget utav 6'an till M (om det inte kom ifrån "/6" från första raden), och varför 6M inte skulle faktiskt representera medelvärdet utav 6T6 (Ob eller inte) och "(90+12M)/36".

Så... varför skulle 6M vara "15+2M" och inte "(90+12M)/36"?

Eftersom det bara är en rad som du inte förstår så inriktar jag mig på den och struntar i resten.

M = (1+2+3+4+5+2M)/6

Ovanstående är en vanlig ekvation och vi vill räkna ut vad M är.
Grundregeln när man löser ekvationer är att det man gör på vänstra sidan om likamed-tecknet gör man också på högra sidan.

Lägger man till 5 på vänster sida gör man detsamma på höger, så här:

M + 5 = (1+2+3+4+5+2M)/6 + 5

Men vad händer om vi multiplicerar med 6 på bägge sidor?

6 * M = 6 * (1+2+3+4+5+2M)/6

På vänster sida:
6 * M = 6M

På höger sida har vi termerna '6 *' och '/6'

Låt oss kalla (1+2+3+4+5+2M) för x
6 * x/6
Det blir bara x kvar för
x * 6 /6 = x

Vi får då

6M = 1+2+3+4+5+2M

som förenklas till

6M = 15 + 2M

P.S.
Kloptok förklarade samma sak på ett annat sätt

 

[Rhodryn]

Ok, då förstår jag.

Det är sådana där regler (som t.ex den du nämner här, med vad som händer på ena sidan händer på andra, etc), som jag nämnde i min spoiler om mig själv, som jag tenderar glömma bort. Som sagt, jag är bra på matte generelt... men har svårt att minnas majoriteten utav reglerna för matte, så jag brukar få försöka krångla mig fram och på någon typ av logisk väg försöka hitta mig fram till svaret. XD

Matte var faktiskt ett av mina favorit ämnen i skolan.