Nekromanti Brainfart om matematik

[Kärlekscraft]

Nej. Jag anser inte att dina svar bidragit med något till den här tråden.

:sad:

 

[Sapient]

(...)
Mer generellt är likamedtecknet ett exempel på en så kallad ekvivalensrelation. Dessa uttrycker en relation mellan två matematiska objekt och uppfyller vissa kriterier, de är reflexiva, symmetriska och transitiva. Reflexivitet innebär att a~b innebär att b~a och vice versa, symmetri innebär att om a~b så är b~a, transitivitet att om a~b och b~c så är a~c. (...)

Men det verkar också finnas något som kallas för "Peanos axiom" (som jag inte tidigare hört talas om) som representerar någon sorts grundläggande axiom från vilka du kan härleda grundläggande aritmetik. Då borde du kunna härleda additionens välkända egenskaper och efter att ha definierat ekvivalensrelationen "=" få ut att 2+2=4 är ekvivalent med 4=2+2 eller 4=3+1 eller 4=0+4 eller vad du vill.

Det första styckets slutsatser om reflexivitet, symmetri, transitivitet osv. är väl typ Peanos axiom nr 2-5, som jag kommer ihåg dem. (Det första axiomet är "noll är ett naturligt tal" och axiomen över 5 handlar om mer komplicerade egenskaper och aritmetiska funktioner som kan appliceras på naturliga tal...)

 

[Sapient]

Man säger ju (väl?) att 2+2=4 är utbytbart mot 4=2+2. Det spelar ingen roll vilken sida av likamedtecknet de olika delarna står. 2+2=4 är samma sak som 4=2+2. De är likvärdiga uttryck. Eller hur?

Det är här jag skulle säga "stopp och belägg". Vem säger att det är utbytbart? Det är det bara under vissa förhållanden.

Förekomsten av det vi identifierar som matematiska tecken (siffertecken, plus och likamed) gör att vi automatiskt tar saker för givna. Bland annat att, typ, "matematiska, artimetiska samband gäller".

Det är under de villkoren du kan säga en sådan sak som att "2+2=4" är utbytbart mot "4=2+2", för det finns en tolkningsram där det är korrekt. Där siffertecknen bland annat är symboler för tal, och tal kan tex adderas (beroende på, som Krille skriver, att de numera oftast definieras utifrån mängder där de har en "storhet" som är bestämd, så att summan av två mängder är beräkningsbar).

Men tal kan ha andra funktioner också. Det kan tex vara fråga om ordinaltal, som beteckningar ordningar. Då är det inte givet att det finns ett bestämt intervall mellan dem, så som vi är vana vid att talen har. Och då är det tex inte givet att addition har något meningsfullt resultat.

Det är inte givet att "ettan" i en tävling kom lika mycket före "tvåan" som "tvåan" kom före "trean" osv. Sifferbeteckningen där är inte något som beskriver HUR de gjorde ifrån sig, bara i vilken ordning (givet sportens regler) deras resultat sorteras. Därför går det inte säga en sån sak som "1+2=3" i det sammanhanget.

Sedan är det skillnad mellan likhet (som betecknas med "=") och ekvivalens (som är ett logiskt begrepp, som ofta betecknas med "=>"). När du skriver, så tolkar jag det som att du kanske tänker mer på ekvivalens än likhet. Ekvivalens är ett starkare begrepp - och det skulle skapa problem för utbytbarhet och ordning mellan tecknen.

Jag tror att det kanske vara det som har gjort att du började tänka i banor som "vänta nu, 4 kan vara 3+1 också".

Men givet att tolkningen sker under artimetiska lagar, så är det inget problem.

 

[Cybot]

Alltså. Jag skulle rekommendera att du lär dig vad de matematiska och logiska teknen betyder.

Om 4 = 2+2 så betyder det att 2+2 = 4.
Men om 4 -> 2+2 är sant så betyder det inte att 2+2 ->4 är sant.

= Ekvivalent. De är alltid utbytbara åt alla håll
-> Indikerar att någonting följer ifrån det första påståendet. För vårt specifika matematiska påstående så skulle jag snarare säga att 2+2->4 är mer sant än 4 ->2+2. Dvs "Det är sant om att jag har två äpplen och han har två äpplen så är det sant att vi har fyra äpplen", medans "Om det är sant att vi har fyra äpplen så är det sant att jag har två äpplen och han har två" iom att det kunde lika gärna varit så att jag hade 1 äpple och han hade tre.

 

[Sapient]

Nja "=" står inte för (materiel) ekvivalens. Det står för något närbesläktat, likhet, men inte samma sak.

Dock utgår många symboler med liknande betydelse från "=", som tex "<=>" (vilket är något helt annat än "->", materiel implikation). Men jag noterar att jag missat "<" i symbolen ovan, så jag antar att det var det som ledde till misstolkningen. Jag skulle givetvis ha skrivit "<=>" - dumt misstag.

I statslogik och mängdlära, så kommer likhet och materiell ekvivalens att överensstämma. De kommer att ha samma sanningstabell. Men under en rikare logik (predikatlogik) är detta inte längre nödvändigtvis sant. Då kommer materiell ekvivalens att uttrycka en starkare relation.

 

[Man Mountainman]

I statslogik och mängdlära, så kommer likhet och materiell ekvivalens att överensstämma. De kommer att ha samma sanningstabell. Men under en rikare logik (predikatlogik) är detta inte längre nödvändigtvis sant. Då kommer materiell ekvivalens att uttrycka en starkare relation.

Framför allt en relation som tar andra typer av argument, objekt snarare än satser. Vad det skulle innebära att den är "starkare" vet jag inte riktigt.

 

[Sapient]

Nu var det länge sen, så jag kanske återger detta inkorrekt i något avseende eller utelämnar något - men det är en effekt av att Leibnitz lag är falsk, om jag minns rätt. Matematiska "entiteter" som tal kan vara identiska, eftersom de saknar allting sådant som skulle kunna göra dem partikulära eller individuella. Det är inte "olika" 2:or som adderas i "2+2", båda representationerna står för "samma" tal.

Men som objekt i logiken kan vi ha entiteter som trots att de delar alla egenskaper, ändå inte är de samma. (Vi vet att om två objekt *är* identiska, så har de alla egenskaper gemensamt. Men om två objekt har alla egenskaper gemensamma, är det ändå inte säkert att de är samma objekt.)

Och då finns det fall där satser (om tex sådana objekt) inte är ekvivalenta, där talen hade varit det - om du förstår hur jag menar. Där relationen logisk ekvivalens hade varit falsk (det är inte samma objekt), men där likhet, "lika med", hade gällt för motsvarande satser.

Jag minns att när detta kom upp på logikdiskussionerna, undrade jag om det inte helt enkelt är en effekt just av att predikatlogiken skiljer sig från satslogik och mängdlära, så att det egentligen är något ganska trivialt.