Nekromanti Matematiskt problem med 3T6 plus bonus/penalty die

[Harry S]

Jag funderar på att ersätta T20 med 3T6 för att bara använda T6 i spelsystemet men också för att 3T6 stämmer överens med normalfördelningskurvan (som Genesis upplyste mig om i en annan tråd). En nackdel med 3T6 är att det är svårare att skapa sig en bild av sannolikheten att lyckas jämfört med rak sannolikhet med T20 (som Arfert påpekade i samma tråd).

Jag vill därför översätta 3T6 till % så att spelarna på en tabell kan avläsa vilken sannolikhet de har att lyckas om de har färdighetvärdet 5, 8, 13, 15 mm. Detta klarar jag utan alltför mycket tankemöda med 3T6 men ...

sedan har jag planer på att istället för modifikationer +1, +2, -1, -2 mm använda mig av penalty/bonus die. En penalty die är tänkt att fungera som så att man slår 4T6 istället för 3T6 och behåller de tre högsta tärningsresultaten. En bonus die fungerar omvänt som så att man slår 4T6 istället för 3T6 och behåller de tre lägsta tärningsresultaten. Man ska kunna få åtminstone 1, 2, 3 stycken penalty die (PD) eller bonus die (BD) beroende på svårighetsnivån.

Hur räknar man ut sannolikheten för att slå under eller lika med färdighetsvärdet med 3T6 plus n penalty eller bonus die? Någon som har en matematisk formel för sannolikheten och som kan förklara den formeln för mig?

Jag vill skapa en tabell som innehåller de här kolumnerna:

# 3T6 | 3T6+1PD | 3T6+2PD | 3T6+3PD | 3T6+1BD | 3T6+2BD | 3T6+3BD
3 - % -------- % ------------ %
4 - % -------- %
5 - %
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Som ni ser (länkarna) så har jag redan hittat en kalkylator som räknar ut sannolikheten för 3T6 och 3T6+xPD/BD. Men jag är fortfarande intresserad av att förstå formeln som räknar ut 3T6+xPD/BD. Någon matematiker som kan förklara den för mig?

 

[anth]

Det finns tyvärr inget enkelt sätt att matematiskt räkna ut det.

Men det finns bra program som kan räkna åt dig.
http://anydice.com/
http://anydice.com/articles/4d6-drop-lowest/

 

[Harry S]

Det finns tyvärr inget enkelt sätt att matematiskt räkna ut det.

Men det finns bra program som kan räkna åt dig.
http://anydice.com/
http://anydice.com/articles/4d6-drop-lowest/

Jo jag har hittat dem som du ser om du klickar på mina länkar. Men tack ändå. Nu är jag mest intresserad av att få en förklaring till hur man matematiskt räknar för att räkna ut sannolikheten när man slår 4T6 och en av tärningarna är penalty/bonus die.

 

[Björn den gode]

Jag är matematiker, visserligen är inte sannolikhetslära inom mitt område direkt men jag har ändå läst en del. Grejen är att vissa saker inom sannolikhetslära blir väldigt snyggt (som binomenialfördelning eller frågor som på hur många sätt kan jag välja ut 3 stycken objekt från 7) men oftast handlar det om att dela upp i specialfall och sen återfalla på kända fall där det går.

Men i grunden så kan vi börja med att konstatera att om du slår 4T6 så finns det 6*6*6*6 = 1296 möjliga utfall, då varje tärning kan visa 1-6 och slagen är oberoende av varandra.

Vi kan sen börja med det enklaste som är sannolikheten att få 3 med en penalty die. Detta inträffar bara i ett fall nämligen om slaget är 1 ; 1 ; 1 ; 1 och sannolikheten för detta är således 1/1296.

Vill vi sen ta reda på sannolikheten att få 4 (exakt) så ser vi att vi måste ha 3 ettor och en tvåa. Det spelar dock ingen roll vilken tärning som visar 2 och vi kan då använda oss av antal möjliga sätt att välja ut en tärning av fyra (vilket ganska uppenbart är 4 men det är ändå ett bra sätt att tänka) och sannolikheten att slå 4 är således 4/1296 eller 1/324.

Att slå 5 gör vi om vi antingen slår en trea och tre ettor (1/324 enligt ovan) eller två tvåor och två ettor vilket enligt liknande resonemang frågor vi oss på hur många sätt vi kan välja ut två tvåor från fyra tärningar (6 sätt) och vi har alltså 6/1296 + 1/324 = 1/216 + 1/324 = 5/648 att slå exakt fem.

Och så vidare... men särdeles snyggt eller en enskild formel som är lätt att applicera finns inte vad jag kan förstå i detta fall.

 

[Harry S]

Jag är matematiker, visserligen är inte sannolikhetslära inom mitt område direkt men jag har ändå läst en del. Grejen är att vissa saker inom sannolikhetslära blir väldigt snyggt (som binomenialfördelning eller frågor som på hur många sätt kan jag välja ut 3 stycken objekt från 7) men oftast handlar det om att dela upp i specialfall och sen återfalla på kända fall där det går.

Men i grunden så kan vi börja med att konstatera att om du slår 4T6 så finns det 6*6*6*6 = 1296 möjliga utfall, då varje tärning kan visa 1-6 och slagen är oberoende av varandra.

Vi kan sen börja med det enklaste som är sannolikheten att få 3 med en penalty die. Detta inträffar bara i ett fall nämligen om slaget är 1 ; 1 ; 1 ; 1 och sannolikheten för detta är således 1/1296.

Vill vi sen ta reda på sannolikheten att få 4 (exakt) så ser vi att vi måste ha 3 ettor och en tvåa. Det spelar dock ingen roll vilken tärning som visar 2 och vi kan då använda oss av antal möjliga sätt att välja ut en tärning av fyra (vilket ganska uppenbart är 4 men det är ändå ett bra sätt att tänka) och sannolikheten att slå 4 är således 4/1296 eller 1/324.

Att slå 5 gör vi om vi antingen slår en trea och tre ettor (1/324 enligt ovan) eller två tvåor och två ettor vilket enligt liknande resonemang frågor vi oss på hur många sätt vi kan välja ut två tvåor från fyra tärningar (6 sätt) och vi har alltså 6/1296 + 1/324 = 1/216 + 1/324 = 5/648 att slå exakt fem.

Och så vidare... men särdeles snyggt eller en enskild formel som är lätt att applicera finns inte vad jag kan förstå i detta fall.

Det är bara det att det är ett rent helgete att räkna ut alla kombinationer när man har 4T6, 5T6, 6T6 mm. Som du själv skriver så innebär ju enbart 4T6 1296 kombinationer. Det måste finnas en formeln för det här. Hur gör annars anydice.com för att räkna ut sannolikheten? De har väl inte räknat ut sannolikheterna för alla kombinationer för hand så som du beskriver det? Jag slog in 30T6 med bonus die bara för att kolla om anydice.com har så höga värden och det har den. Det skulle ta ett par mansåldrar för dem att räkna ut sannolikheterna utan en formel. Det måste finnas en formel som anydice.com använder i realtid eller har använt för att i förväg populera en databas med värdena.

Binomialfördelning är svårt som bara den tycker jag och det gör att jag inte ens orkar försöka lista ut formeln själv.

 

[anth]

Det är bara det att det är ett rent helgete att räkna ut alla kombinationer när man har 4T6, 5T6, 6T6 mm. Som du själv skriver så innebär ju enbart 4T6 1296 kombinationer. Det måste finnas en formeln för det här. Hur gör annars anydice.com för att räkna ut sannolikheten? De har väl inte räknat ut sannolikheterna för alla kombinationer för hand så som du beskriver det? Jag slog in 30T6 med bonus die bara för att kolla om anydice.com har så höga värden och det har den. Det skulle ta ett par mansåldrar för dem att räkna ut sannolikheterna utan en formel. Det måste finnas en formel som anydice.com använder i realtid eller har använt för att i förväg populera en databas med värdena.

Binomialfördelning är svårt som bara den tycker jag och det gör att jag inte ens orkar försöka lista ut formeln själv.

När det gäller "roll 4d6, drop lowest", "roll 5d6, drop 2 lowest" o.s.v. är detta redan uträknat sedan flera årtionden tillbaka eftersom detta är den vanliga framslagningsmetoden för abilities DnD.
Nu är det så att att matematiskt- och tekniskt kunniga människor är överrepresenterade inom rollspel, och dessa har som sagt slitit med detta problem i decennier.
Tro mig: det finns ingen formel - hade det funnits hade du fått den för länge sedan. Istället använder matematiker datorprogram att räkna ut den exakta sannolikheten (vilket tar en mikrosekund av datorns processorkraft). Det är även så anydice gör. Datorn-servern som anydice-siten ligger på räknar helt enkelt igenom alla möjliga utfall.
Däremot tror jag att du underskattar hur listiga programmerare är när det skriver datorprogram. Även om det inte finns någon matematisk genväg så finns det program-mässiga genvägar som gör att det går betydligt snabbare att räkna ut än vad du tror.

Däremot behöver du själv bara räkna ut hälften av dina utfall, då "roll 4d6, drop highest" är precis motsatsen till "roll 4d6, drop lowest", d.v.s. chansen att få 3 med det ena framslagningssättet är lika stor som att få 18 med det andra.

 

[holmstrom]

Det är bara det att det är ett rent helgete att räkna ut alla kombinationer när man har 4T6, 5T6, 6T6 mm. Som du själv skriver så innebär ju enbart 4T6 1296 kombinationer. Det måste finnas en formeln för det här. Hur gör annars anydice.com för att räkna ut sannolikheten? De har väl inte räknat ut sannolikheterna för alla kombinationer för hand så som du beskriver det? Jag slog in 30T6 med bonus die bara för att kolla om anydice.com har så höga värden och det har den. Det skulle ta ett par mansåldrar för dem att räkna ut sannolikheterna utan en formel. Det måste finnas en formel som anydice.com använder i realtid eller har använt för att i förväg populera en databas med värdena.

En modern dator kan 60 gånger i sekunden beräkna information om färg, skuggning, djup, reflektioner, ljus och en hel drös annan information för varje pixel på en stor skärm som kan ha uppemot 4 miljoner pixlar. Det är alltså 70,000 uppsättningar av matematiskt mycket avancerade beräkningar som modellerar fysikens lagar på 16 millisekunder. Att slå tärning (slumpa fram ett par tal) och spara lite information om de olika slagen (addition + skriva till minnet) är knappt värdigt en modern dators processorkraft, om det så är ett par miljoner slag som behöver behandlas på det sättet. Så jo, att "slå och räkna manuellt varje gång" är med stor sannolikhet precis vad de gör på anydice.

 

[Harry S]

Däremot tror jag att du underskattar hur listiga programmerare är när det skriver datorprogram. Även om det inte finns någon matematisk genväg så finns det program-mässiga genvägar som gör att det går betydligt snabbare att räkna ut än vad du tror.

Ja det kanske är sant som ni säger att det inte finns någon analytisk lösning på problemet och att de räknar ut det numeriskt. Anydice ger mig de värden jag behöver och det får räcka. Jag orkar inte testa programkoden för att kontrollera att värdena stämmer. De räknar nog rätt på anydice.

Vad tycker ni annars om att ersätta svårighetsnivåer i 3T6 med penalty 1-3 die och 1-3 bonus die istället för modifikationer?

 

[anth]

Vad tycker ni annars om att ersätta svårighetsnivåer i 3T6 med penalty 1-3 die och 1-3 bonus die istället för modifikationer?

Att det inte längre liknar 3d6, utan en sämre variant av dice pools.

Den enda fördelen med dice pools är att det går förhållande snabbt att läsa av tärningarna.
Jag hatar dice pools och du har lyckats plocka bort den enda bra saken med dem... go figure vad jag tycker.

 

[Harry S]

Att det inte längre liknar 3d6, utan en sämre variant av dice pools.

Den enda fördelen med dice pools är att det går förhållande snabbt att läsa av tärningarna.
Jag hatar dice pools och du har lyckats plocka bort den enda bra saken med dem... go figure vad jag tycker.

Vad är det som är så dåligt? Det blir ju en skev normalfördelningskurva om man adderar en penalty/bonus dice. Vad är skillnaden jämfört med att använda sig av modifikationer -1, -2, +1, +2? Detta rubbar ju också sannolikheten på ett konstigt sätt eftersom stegen mellan talen innebär olika stor sannolikhet?

 

[anth]

Vad är det som är så dåligt?

Jag tycker om snabba system.
Jag föredrar t.ex. DnD framför BRP för att i DnD slår man bara attackslag och inga försvarsslag, medan i BRP slår man både attackslag och försvarsslag vilket gör att alla strider tar dubbelt så lång tid.

Att göra som du föreslår, att slå en näve tärningar, plocka ut de tre bästa (eller sämsta) och sedan addera dem... låter som en extremt långsam regelresolution.

Sedan avskyr jag att slå nävar med tärningar... det enda undantaget är när man slår damage för fireballs.

 

[Harry S]

Jag tycker om snabba system.
Jag föredrar t.ex. DnD framför BRP för att i DnD slår man bara attackslag och inga försvarsslag, medan i BRP slår man både attackslag och försvarsslag vilket gör att alla strider tar dubbelt så lång tid.

Att göra som du föreslår, att slå en näve tärningar, plocka ut de tre bästa (eller sämsta) och sedan addera dem... låter som en extremt långsam regelresolution.

Sedan avskyr jag att slå nävar med tärningar... det enda undantaget är när man slår damage för fireballs.

Jag står och väger mellan T20 och 3T6. Att slå 3T6 med bonus/penalty die tycker jag går snabbare än att slå T20 med modifikationer när man ska räkna + och - för det och det. Nackdelen är att det är svårare att uppskatta chansen att lyckas. Fördelen med 3T6 vilket kommer att gälla i majoriteten av fallen följer ju normalfördelningskurvan.

Inget hindrar att man slår 3T6 mot ett passivt försvarsvärde.

 

[Genesis]

Varför är det en fördel att slaget är normalfördelat?

 

[Bolongo]

Varför är det en fördel att slaget är normalfördelat?

Jag vet inte hur trådstartaren tänker, men personligen ser jag en viss fördel med viktad sannolikhet. Just normalfördelning är väl inte så himla viktigt, men att rulla något antal tärningar och lägga ihop dem ger en mer "pålitlig" känsla för resultat än en platt sannolikhet som 1d20 eller 1d100 ger.

 

[Sapient]

Vad menas med "formel" i den här tråden? En notation för sannolikhetsberäkning? Alltså att ställa upp det Björn den Gode beskriver på ett lite kortare sätt? Det går att göra (och alltså *finns* det "en formel", det är ju så programmeringen av uträkningarna på anydice - som anth beskriver - utförs).

Jag tror inte det hjälper alltför mycket - det är fortfarande en så pass komplex beräkning du ser ut att vilja göra, eftersom du vill täcka så pass många olika fall. En sådan formell blir ju i sig en komplex sak - inte precis y=kx+m...

Men om målet är att göra en tabell med sju kolumner så är det ju bara att köra anydice ett antal gånger och katalogisera resultaten av de olika körningarna. Dvs. en för 3T6, en för 4T6 & "drop lowest", en för 5T6 & "drop 2 lowest" osv. Då får du ju din matris över sannolikheterna iaf.

 

[Harry S]

Varför är det en fördel att slaget är normalfördelat?

För att det är mer realistiskt? Det var ju det du skrev i en annan tråd eller har jag missförstått dig?

 

[Harry S]

Jag vet inte hur trådstartaren tänker, men personligen ser jag en viss fördel med viktad sannolikhet. Just normalfördelning är väl inte så himla viktigt, men att rulla något antal tärningar och lägga ihop dem ger en mer "pålitlig" känsla för resultat än en platt sannolikhet som 1d20 eller 1d100 ger.

Exakt så men när jag tänker på det så kanske jag vill ha osäkerheten i den raka sannolikheten eftersom spelet innehåller skräck. Rak sannolikhet kanske passar skräckspel bättre?

 

[Harry S]

Vad menas med "formel" i den här tråden? En notation för sannolikhetsberäkning? Alltså att ställa upp det Björn den Gode beskriver på ett lite kortare sätt? Det går att göra (och alltså *finns* det "en formel", det är ju så programmeringen av uträkningarna på anydice - som anth beskriver - utförs).

Jag vet faktiskt inte vad jag menar med formel men jag tror jag tänkte mig en formel som man kan räkna på med penna och papper utan alltför många räknesteg. Jag ville ha en genväg till att behöva lista alla kombinationer så som Björn gjorde. Men det är möjligt att formeln kommer att kräva en dator för att den blir tillräckligt komplicerad för att räkna på med papper och penna. Alltså jag känner ju till vissa binomialfördelningar som det går att sammanfatta i en formel som det går att räkna ut resultatet av för hand i några räknesteg.

Men om målet är att göra en tabell med sju kolumner så är det ju bara att köra anydice ett antal gånger och katalogisera resultaten av de olika körningarna. Dvs. en för 3T6, en för 4T6 & "drop lowest", en för 5T6 & "drop 2 lowest" osv. Då får du ju din matris över sannolikheterna iaf.

Jo det förstår jag. Men jag vet ju inte om anydice räknar rätt eftersom jag inte kan kontrollera resultatet. Alltså problemet löste sig när jag hittade anydice men samtidigt så blev jag nyfiken på hur uträkningen går till för anydice ger mig bara resultaten. Jag är källkritisk och nyfiken i en tärningsmugg. Den bästa förklaringen hittills är att de med dator räknar ut resultaten numeriskt. Men jag misstänker som ni nog förstår att det finns en analytisk lösningsmetod för att räkna ut resultaten som datorerna använder sig av. För datorer lär de räkna med oavsett hur de gör det. Det är bara jag som lever kvar i förra århundradet och räknar för hand.

 

[Sapient]

Ja, "formeln" i detta fall är något som så att säga sammanfattar det BDG skrev i alla steg samtidigt, så att säga. För resultaten i ändarna på skalan är det ganska få möjliga kombinationer så de är förhållandevis enkla att definiera - och ger därför ett ganska enkelt bråktal, ganska snabbt.

Det är mot mitten, som ju antalet möjliga kombinationer ökar och ger dig besvär om du ska göra det "för hand". (Oavsett om det är via papper&penna eller tex Excel på datorn.)

Det är lätt att glömma någon kombination som ger upphov till 11 tex. Och då har du plötsligt ett helt felaktigt värde.

Men via programspråkets inbyggda funktioner går det att få datorn att göra samma sak, och det tar ingen tid alls. Datorer missar inte, blir inte distraherade osv.

Det går att uttrycka i förhållandevis överskådlig matematisk notation, men eftersom den notationen är en så hög abstraktion i sig (som förutsätter kunskap om alla de där iterationerna av enskilda beräkningar) så ger ju föga hjälp för den som inte är förtrogen med den. Så i den meningen är nog svaret att det inte finns en formell - inte en som både är kraftfull nog och samtidigt lätt att förstå utan flera ark av beräkningar.

 

[Harry S]

Ja, "formeln" i detta fall är något som så att säga sammanfattar det BDG skrev i alla steg samtidigt, så att säga. För resultaten i ändarna på skalan är det ganska få möjliga kombinationer så de är förhållandevis enkla att definiera - och ger därför ett ganska enkelt bråktal, ganska snabbt.

Det är mot mitten, som ju antalet möjliga kombinationer ökar och ger dig besvär om du ska göra det "för hand". (Oavsett om det är via papper&penna eller tex Excel på datorn.)

Det är här jag hade hoppats att matematikerna skulle ha listat ut ett smart samband (förutsatt att det finns) som krymper beräkningarna till några steg som även de är möjliga att genomföra för hand eller i Excel.

Det är lätt att glömma någon kombination som ger upphov till 11 tex. Och då har du plötsligt ett helt felaktigt värde.

Men via programspråkets inbyggda funktioner går det att få datorn att göra samma sak, och det tar ingen tid alls. Datorer missar inte, blir inte distraherade osv.

Det går att uttrycka i förhållandevis överskådlig matematisk notation, men eftersom den notationen är en så hög abstraktion i sig (som förutsätter kunskap om alla de där iterationerna av enskilda beräkningar) så ger ju föga hjälp för den som inte är förtrogen med den. Så i den meningen är nog svaret att det inte finns en formell - inte en som både är kraftfull nog och samtidigt lätt att förstå utan flera ark av beräkningar.

Jo jag har läst lite om det här på nätet men precis som du skriver så måste man nog vara förtrogen med innebörden av ganska avancerade matematiska uttryckssätt för att förstå notationerna och jag har inga planer på att plugga sannolikhetsteori på universitet bara för att kontrollera att anydice beräkningar stämmer. Jag får lita på att någon annan har kontrollerat uträkningarna åt mig/oss.

Det var knepigare än jag trodde att räkna på slå xT6 och behåll de x-1 högsta/lägsta.