OK, vi försöker igen med introduktion till kombinatorik och sannolikhetslära. Vi tar det steg för steg.
Vi börjar med begreppet n! (utläses "n-fakultet"), vilket definieras som produkten av alla naturliga tal upp till n (alltså 1*2*3*...*n). Det är, bland annat, antalet sätt man kan ordna n element. Har du de fyra bokstäverna A, B, C, och D kan du till den första platsen i ordningen välja bland fyra bokstäver, till andra platsen vinns det tre kvar, till tredje två kvar, och till sist bara ett. 4*3*2*1 = 4! = 24. Hade du haft 5 bokstäver hade antalet blivit 120, så som synes sticker värdet på n! iväg rätt snabbt. 0! är definierad som 1, för den goda sakens skull.
Om vi sedan säger att du har tio bokstäver, och ska välja ut tre av dessa (utan att repetera). Första bokstaven har du tio val på, på den andra har du nio, och på den tredje har du åtta. Det blir 10*9*8 val. Man ser lätt att det är början av 10*9*8*7*6*...*1. De delarna som inte är med är ju från 7 och nedåt (10 minus de 3 du valde) - alltså kan du välja dem på 10!/7! sätt. För att generalisera det hela: Om du ska välja k element av n där ordningen spelar roll kan du göra det på n!/(n-k)! sätt.
Om sedan inte ordningen spelar roll på de 3 valda elementen (t ex för att de är likadana) så har vi ju redan kommit fram till att de kan ordnas på 3! olika sätt, eller k! i det allmänna fallet. Delar vi vårt tidigare resultat med detta får vi 10!/(3!*7!) i det specifika fallet, eller n!/(k!*(n-k)!) i det allmänna fallet. Detta skrivs C(n,k), eller
om man inte är radbunden. Så långt kombinatoriken.
Om vi sedan går in på sannolikhetslära, så kan vi definiera P som sannolikheten för en händelse (t ex ett lyckat tärningsslag), och Q = 1-P som sannolikheten att det inte händer (misslyckat tärningsslag). P och Q uttrycks alltid som tal mellan 0 och 1.
Sannolikheten för att flera av varandra oberoende händelser ska hända är lika med produkten av dessa händelsers sannolikheter. Chansen att jag ska lyckas två gånger i följd är P*P (eller P^2), chansen att jag ska misslyckas två gånger i följd är Q*Q = Q^2, chansen att jag ska lyckas och sedan misslyckas är P*Q, och chansen att jag ska misslyckas och sedan lyckas är Q*P. Slår jag fyra gånger är möljigheterna som följer:
PPPP
PPPQ
PPQP
PQPP
QPPP
PPQQ
PQPQ
PQQP
QPQP
QQPP
QPPQ
QQQP
QQPQ
QPQQ
PQQQ
QQQQ
Om vi inte bryr oss om ordningen på slagen, utan endast hur många lyckade, så har vi fyra olika utfall:
4 lyckade - PPPP
3 lyckade - PPPQ, PPQP, PQPP, QPPP
2 lyckade - PPQQ, PQPQ, PQQP, QPQP, QQPP, QPPQ
1 lyckad - QQQP, QQPQ, QPQQ, PQQQ
0 lyckade - QQQQ
Som synes är chansen för alla sex utfallen i "2 lyckade" samma: P*P*Q*Q, eller P^2*Q^2. Chansen att
någon av dem händer blir summan av de sex sannolikheterna, alltså 6*P^2*Q^2
Hur vet vi då hur många olika kombinationer som finns för varje val? Jo, det är ju svaret på frågan "hur många sätt kan jag välja k positioner av n möjliga utan att ordningen spelar roll?" Och det är, som vi redan sett, C(n,k). Vi prövar och se om det stämmer:
C(4,4): 4!/(4!*0!) = 24/24 = 1
C(4,3): 4!/(3!*1!) = 24/6 = 4
C(4,2): 4!/(2!*2!) = 24/(2*2) = 24/4 = 6
C(4,1): 4!/(1!*3!) = 24/6 = 4
C(4,0): 4!/(0!*4!) = 24/24 = 1
Vi summerar: Vi vill veta sannolikheten för k lyckade slag av n försök. Vi vet följande:
Det finns C(n,k) olika utfall som alla ger k lyckade.
Vart och ett av dessa utfall har sannolikhet P^k*Q^(n-k)
Den totala sannolikheten blir då C(n,k) * P^k * Q^(n-k)
Vill man ha reda på sannolikheten för
minst k lyckade får man helt enkelt summera (chansen för minst 3 av 5 är lika med chansen för exakt 3 av 5, 4 av 5, och 5 av 5).
